Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} - 16 x + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Simplifica $x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64 = 0$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Suma $x^{2} - 16 x$ y $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 64 = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $x^{2} - 16 x$ y $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x^{2} - 16 x + 8^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Paso 1.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Paso 1.2.3

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 1.2.4

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(8, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 2.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $0$ y $y^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Paso 2.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 10$ y $c = 64$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 2.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.3

Resta $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.4

Reescribe $- 156$ como $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (156)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.7

Reescribe $156$ como $2^{2} \cdot 39$ .

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Paso 2.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Paso 2.2.4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.3

Resta $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.4

Reescribe $- 156$ como $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (156)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.7

Reescribe $156$ como $2^{2} \cdot 39$ .

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Paso 2.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Paso 2.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 5 + i \sqrt{39}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Paso 2.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.3

Resta $256$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.4

Reescribe $- 156$ como $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (156)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.7

Reescribe $156$ como $2^{2} \cdot 39$ .

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Paso 2.2.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Paso 2.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 5 - i \sqrt{39}$

Paso 2.2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 5 + i \sqrt{39}, 5 - i \sqrt{39}$

Paso 2.3

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

Intersección(es) con y: $Ninguna$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(8, 0)$

Intersección(es) con y: $Ninguna$

Paso 4